研报上的 71.8% 是什么意思
疾风的资料里写着：年化波动率 71.8%。我们手算过它的日 σ 是 4.5%。这两个数说的是同一件事的不同时间尺度，中间隔着一个换算。问题是：怎么换？
直觉的第一个答案是直接乘：一年约 252 个交易日，4.5% × 252 ≈ 1134%。这个数字显然是荒谬的——波动率怎么会超过 1000%？第二个答案听起来合理些：4.5% × 252 太离谱，那就……别乘？可什么都不乘，日尺度和年尺度又怎么对上？
正确答案是乘 √252 ≈ 15.9：4.5% × 15.9 ≈ 71.4% ≈ 71.8%，和研报的数对上了。开根号，不多不少。为什么是开根号？这是本章唯一的问题，而它有一个不需要任何证明的直觉答案。
醉汉走了 252 步
回到第二章那个醉汉。他站在路灯下，每一步随机往任意方向迈一米，互不相关。问：走了 252 步之后，他离路灯多远？
不会是 252 米。因为步子是随机的，向东的一步大概率会被向西的一步抵消一部分。也不会是 0——抵消不可能那么干净。真实的答案大约是 √252 ≈ 16 米。随机行走的位移，随步数的平方根增长。
这就是整条法则的全部直觉：股价一年的旅程，就是 252 个随机交易日的叠加。日子和日子之间大致互不相关（今天涨不预示明天涨），所以它们像醉汉的步子一样大量互相抵消。252 天的累积波动不是 252 份，而是 √252 份——约 16 份。
大白话：如果每天的波动是「同向叠加」的，年就波动就是日的 252 倍；如果每天的波动完全互相抵消，年波动就是 0。真实情况是随机——介于两者之间，而数学证明这个「介于」恰好落在开根号上：√252 ≈ 16 倍。既不叠加，也不清零，抵消到只剩平方根。
平方相加，斜边开根号
想再深一层的人可以记住这个画面（第三章埋过的伏笔）：方差——也就是平方后的波动——是可以直接相加的。互不相关的日子，其方差像勾股定理里的两条直角边：一年的方差 = 252 × 一天的方差。你平时看到的 σ 是斜边，不是直角边，所以最后要开一次根号：σ年 = √(252 × σ日²) = √252 × σ日。方差按时间乘，标准差按时间开根号。这句话可以背。
这条法则的三个日常用法
- 正着用：日 σ 换年化。全市场指数基金的日 σ ≈ 0.9%，年化 = 0.9% × 15.9 ≈ 14.3%；债券基金日 σ ≈ 0.3%，年化 ≈ 4.8%。研报上的年化数从此可以反查。
- 反着用：年化换日 σ。看到「某基金年化波动率 20%」，除以 15.9，日 σ ≈ 1.26%——再代入第五章的速查卡，你就知道它跌 2.5% 才算「抬头看一眼」（2σ），跌 1% 纯属呼吸。对任何资产，你三秒钟就能配好它的体温计。
- 任意尺度：周化乘 √52 ≈ 7.2，月化乘 √12 ≈ 3.5，季度化乘 √4 = 2。永远是开根号。
根号里藏着长期主义的数学
最后留意一个漂亮的对照。均值——那个微小的方向——随时间是直接乘的：日收益 0.3%，252 天大致累积 252 份（这就是复利前身的线性部分）。而波动——那个巨大的噪音——随时间只按平方根涨。时间拉长，方向按 252 倍长大，噪音只按 16 倍长大。
这正是第四章那句「时间尺度越短，市场越像抛硬币」的公式版：一天里，疾风的均值（0.3%）只有 σ（4.5%）的十五分之一，信号被噪音彻底淹没；拉长到一年，累积的方向约 75%，累积的噪音约 71%——信噪比改善了 √252 ≈ 16 倍，从 1:15 扳到大致打平。噪音还在，但信号终于探出了头。长期持有在数学上的全部含义，就是等到按 t 增长的东西跑赢按 √t 增长的东西。
一句诚实的提醒：√t 法则的前提是「日子之间互不相关」。大部分时候这够真；但恐慌的日子里市场会「记性变好」——暴跌之后往往跟着暴跌。这个例外有多大，第十章讲肥尾时再算。
本章带走的：日 σ 乘 √252 ≈ 15.9 得年化波动率；开根号的原因是随机的日子互相抵消到只剩平方根（方差按时间乘，标准差按时间开根号）；方向按 t 长、噪音按 √t 长，这是长期主义的数学内核。