第三章 · 方差：把「离平常多远」加起来

「上蹿下跳」要变成一个数字

第二章结尾留了个活：疾风平常一天均值 +0.3%，但它真实的每一天都在 +7% 到 −6% 之间翻飞。怎么把「翻飞」本身变成一个干净的数字？

最自然的想法：看看每天离均值有多远。这叫离差，就是当天的收益率减去均值（0.3%）：

+2.9　−4.4　+6.5　−2.8　+0.6　−5.9　+7.1　−2.1　+2.4　−4.3

涨的日子是正的，跌的日子是负的。接下来顺手把它们加起来求个平均，就得到「平均波动」了，对吧？试一下：

2.9 − 4.4 + 6.5 − 2.8 + 0.6 − 5.9 + 7.1 − 2.1 + 2.4 − 4.3 = 0.0

零。这不是巧合，这是均值的定义决定的——均值就是所有数字的「平衡点」，正的超额和负的超额永远恰好抵消。直接平均离差，永远得零，对任何数据都一样。此路不通。

为什么要平方

问题出在正负号上。涨 4% 和跌 4%，对「波动多大」这个问题是同等的贡献，可它们的离差一正一负，加在一起就互相消灭了。我们需要一个办法，把负号抹掉。

抹负号的办法有两个：取绝对值，或者平方。两个都是诚实的办法，统计学选了平方，理由很实在：

• 平方让大波动「罪加一等」。一天 −5.9%，平方后贡献 34.8；一天 +0.6%，平方后只贡献 0.36。大日子的权重不是线性放大，是平方放大。这恰好符合风险的真实形状：一天亏 6% 对你的伤害，远大于两天各亏 3%——就像从三楼摔一次和从一楼摔三次，不是一回事。
• 平方在数学上好相处。后面第六章的 √t 法则、第九章的「分散是免费午餐」，推导能走通，靠的都是平方的一个漂亮性质（和勾股定理是亲戚）。绝对值在这些推导里会处处卡壳。

于是动手，把十个离差挨个平方（单位是「%的平方」，先别管它别扭）：

8.41　19.36　42.25　7.84　0.36　34.81　50.41　4.41　5.76　18.49

加起来：192.10。除以天数 10，得 19.21。这个数就是方差：每一天离均值多远，平方之后再平均——「平均的平方距离」。

为什么要开回来

方差有个别扭之处：单位。收益率的单位是 %，平方之后方差的单位是「%²」——百分之平方，谁也没长过这个直觉。说「疾风的方差是 19.21 %²」，就像说两个地方的「平方距离」是 25 平方公里——数字本身没错，但你没法拿它和任何真实距离直接比。

解决办法就是当初怎么上去的，现在怎么下来：开平方，把单位开回来。

√19.21 ≈ 4.4

这个数叫标准差（记作 σ，读西格玛），单位重新变回了 %。现在一切顺了：疾风的日收益率均值是 +0.3%，日标准差是 4.4%——两个数单位相同，可以直接对着看：它平常一天不动，而平常的「一步」是四个多点。方向是零，步幅是四。这就是这只股票的完整画像。

顺带交代一句：我用了一整年的日线数据（约 250 个交易日）算过同一个东西，得到日 σ = 4.5%——我们这十天手算的 4.4% 已经很接近了。全书后面说到疾风，一律用全年数据的 4.5%。

（一个诚实的脚注：讲究的教科书算方差时除以 n−1 而不是 n，我们这里是 9 而不是 10，算出来标准差是 4.6% 而不是 4.4%。差别很小，原因是第十一章的主角——样本量。现在忘掉它，不耽误任何事。）

你已经会算波动率了

回头看这三步：减均值，平方，平均，开根号。就这四下，没有任何更高级的东西。你刚刚手算出来的 4.5%，在券商研报的措辞里叫「该标的年化前日波动率约为……」——对，华尔街管标准差叫波动率，是同一把尺的两个名字。整份研报里你最需要看懂的那个数，你现在会算了。

但一把尺光有刻度还不够，还得知道刻度之间的概率：离均值 1 个 σ 以内，大概多久发生一次？2 个 σ 以外呢？这需要一个形状——一座钟。第四章见。

本章带走的：方差 = 平方距离的平均（平方为了抹负号、重罚大日子）；标准差 = 方差开根号（开回来为了单位回到 %、能和收益率直接比）。σ 从此是本书的第一度量衡。