第九章 · 免费的午餐

第八章那个 −0.16，值多少钱

上一章我们算出：股票 A 和债券基金 B 的协方差是 −0.16，相关系数 −0.2——它俩轻度对着干。这一章回答那个最实在的问题：各买一半，组合的波动到底是多少？

你可能脱口而出：A 的 σ 是 2.29，B 的是 0.36，一半一半，组合的 σ 就是平均数 (2.29 + 0.36) ÷ 2 ≈ 1.33 吧？

不对。真实答案比这个小。小出来的那一块，就是「免费午餐」。我们把它手推出来。

一步代数：平方打开

组合每天的收益率就是两半相加：组合 = 0.5A + 0.5B。问组合的方差，按第三章的定义走：先算每天的离差。组合的离差也很简单——就是两半各自离差的相加：(0.5a + 0.5b)，这里 a、b 是 A、B 当天的离差。

方差 = 离差的平方再平均。把这个小括号平方打开（初中代数：(x+y)² = x² + y² + 2xy）：

(0.5a + 0.5b)² = 0.25a² + 0.25b² + 0.5ab

现在对每一天都这样算，再取平均。注意三件事：0.25a² 的平均 = A 的方差 × 0.25；0.25b² 的平均 = B 的方差 × 0.25；而 ab 的平均——逐天离差相乘再平均——这正是第八章定义的协方差。于是：

组合方差 = 0.25×σA² + 0.25×σB² + 0.5×协方差

这就是著名的两资产组合方差公式的一半一半版。推导只用了「平方打开」和「平均可以拆开算」，没有更多了。代入我们的数字：

组合方差 = 0.25×5.25 + 0.25×0.13 + 0.5×(−0.16) 　　　　 = 1.31 + 0.03 − 0.08 = 1.26 组合 σ = √1.26 ≈ 1.12

1.12，不是 1.33。组合的波动比「两个波动的平均」小了 16%。这 16% 没有付出任何代价——不是选股选出来的，不是择时择出来的，纯粹是「把对着干的东西放在一起」这个动作本身白送的。这就是诺贝尔奖得主马科维茨说的那句话的数学出处：分散化是投资里唯一的免费午餐。午餐就是公式里第三项：它可以是负的。

ρ 从 +1 滑到 −1：一顿午餐的完整菜单

把数字放大到年度尺度看得更清楚。假设股票部分年 σ = 20%，债券部分年 σ = 10%，各放一半。波动的加权平均恒为 15%，而真实组合 σ 随 ρ 变化：

ρ = +1.0（完全同步）→ 组合 σ = 15.0%　没有午餐 ρ = +0.5（同向不同步）→ 组合 σ = 13.2%　省 1.8 ρ = 0.0（各走各的）　→ 组合 σ = 11.2%　省 3.8 ρ = −0.5（轻度对着干）→ 组合 σ = 8.7%　省 6.3 ρ = −1.0（完全镜像）　→ 组合 σ = 5.0%　省 10

盯住两端看。ρ = +1 时，公式变成 (0.5×20 + 0.5×10)² = 15² ——第三项满额为正，组合波动等于加权平均，一分午餐都没有。这解释了「我买了十只科技股为什么还是分散失败」：十只 ρ = 0.9 的股票，约等于一只大科技股。ρ 越往 −1 走，第三项减得越狠；理论上 ρ = −1 且配比合适，波动可以减到接近零——当然现实中不存在完美镜像的资产，真实世界里股票和债券的 ρ 在 −0.2 到 +0.3 之间浮动，对应的免费午餐大致就是上面中间三行的水平。

三句诚实的边界

• 午餐管的是颠簸，不是收益。分散降低的是 σ，不提高均值。它的正确读法是「同样的预期收益，更小的颠簸」或「同样的颠簸，更高的预期收益」——取决于你怎么搭配。
• ρ 不是刻在石头上的。它是历史数据算出来的平均关系，会变。尤其记住：恐慌来临时，很多平时不相关的资产会突然一起跌——「危机时所有相关性都奔向 1」。第十章还会回来收拾这个例外。
• 免费不等于万能。分散抹掉的是「单个资产特有的颠簸」，抹不掉整个市场一起的颠簸。全市场指数本身已经是几百只股票的免费午餐套餐，但它照常有 14% 的年化波动——那是所有公司共享的部分，谁也分散不掉。

我那两万美元的组合——主力全市场指数基金、配债券基金——此刻你可以用新眼光看了：这不是拍脑袋的「稳健配置」，是 ρ ≈ −0.2 的第三项在替我天天省波动。

本章带走的：组合方差 = 0.25σA² + 0.25σB² + 0.5×协方差；第三项为负时，组合波动小于各自波动的加权平均——差额就是免费午餐；ρ = +1 没有午餐，买十只同涨同跌的股票不算分散。